偏差積和(2つのデータのバラツキを掛けた総和)の平均
こんにちは、徳です。
デジタルDIYができるようコーディング・プログラミング・画像加工・動画編集などを本やYouTubeで勉強しています。
現在は、初心者なので、とにかくゆっくり進んでいくと思います。
また、「間違っていること」や「こうした方が良いよ」などがあれば、コメントなどしていただけたら幸いです。
では、いきましょう!
統計学
今回は、
共分散
について勉強していこうと思います。
共分散
共分散とはバラツキを掛けた総和の平均
共分散とは、
2つのデータ項目を持つデータのバラツキを掛けた総和
です。
- バラツキ → 偏差
- 掛ける → 積
- 総和 → 和
つまり、
偏差積和の平均値
です。
用途は相関係数を求めるときに使用
偏差積和の用途としては、
相関係数を求めるときに使用する
ことがメインです。
また、共分散の値で相関を見ることもできます。
データ項目Xとデータ項目Yの共分散を求める場合、
- 共分散が正の数 → Xが正だとYも正・Xが負だとYも負の傾向にある → 正の相関
- 共分散が0に近い → XとYに傾向がない → 無相関
- 共分散が負の数 →Xが正だとYは負・Xが負だとYは正の傾向にある → 負の相関
と見ることができます。
求め方
公式
共分散の公式は、
です。
そのまま見てもよくわからないですね。
実際には、上の式は偏差積和です。
また、nとはデータ数になります。
つまり、
となります。
よって、
共分散は偏差積和の平均値
と考えることができます。
平均値なので、偏差積和をデータ数で割るのみですね。
偏差積和
偏差積和については、こちらで紹介しています。
よろしかったらどうぞ
データ数
データ数とは、
データの数
です。
そのままですね。
使用したデータの数を数えましょう。
割る
偏差積和をデータ数で割ります。
ある値をデータ数で割るということは、
その値の平均を求める
ということです。
今回では、ある値：偏差積和です。
よって、
共分散 = 偏差積和の平均を求める
ということになります。
使い方
共分散の使い方は主に、
- 相関係数を求めるときに使用する
- 相関の向きを見る
の2つがあります。
こちらは、偏差積和と同じです。
主な使い方は、
相関係数を求めるときに使用する
です。
相関係数については後日説明させていただきます。
なぜ共分散から相関の向きが見えるのか
共分散は、
で求められます。
下のデータ数は、必ず正の数になります。
データの数がマイナスになるはずがありませんよね。
つまり、
偏差積和の正負で共分散の正負も決まる
ということです。
そして、
- 偏差積和が正 → 正の相関
- 偏差積和が0に近い → 無相関
- 偏差積和が負 → 負の相関
の傾向にあると考えられるため、
共分散も
- 正 → 正の相関
- 0に近い → 無相関
- 負 → 負の相関
と考えられます。
例
身長と体重の関係
身長と体重の関係を例として共分散を求めてみましょう。
1、2項目の平均を求める
平均は、合計 / データ数です。
身長の平均
(180+172+184+162+159+180+174+175+162+180) / 10 = 172.8
体重の平均
(75+61+77+55+58+78+65+70+64+74) / 10 = 67.7
2、2項目の偏差を求める
偏差は、データ – 平均です。
身長の偏差
180 – 172.8 = 7.2
172 – 172.8 = -0.8
184 – 172.8 = 11.2
162 – 172.8 = -10.8
159 – 172.8 = -13.8
180 – 172.8 = 7.2
174 – 172.8 = 1.2
175 – 172.8 = 2.2
162 – 172.8 = -10.8
180 – 172.8 = 7.2
体重の偏差
75 – 67.7 = 7.3
61 – 67.7 = -6.7
77 – 67.7 = 9.3
55 – 67.7 = -12.7
58 – 67.7 = -9.7
78 – 67.7 = 10.3
65 – 67.7 = -2.7
70 – 67.7 = 2.3
64 – 67.7 = -3.7
74 – 67.7 = 6.3
3、項目づつの偏差積を求める
お互いの項目を掛けます。
7.2 × 7.3 = 52.56
-0.8 × -6.7 = 5.36
11.2 × 9.3 = 104.16
-10.8 × -12.7 = 137.16
-13.8 × -9.7 = 133.86
7.2 × 10.3 = 74.16
1.2 × -2.7 = -3.24
2.2 × 2.3 = 5.06
-10.8 × -3.7 = 39.96
7.2 × 6.3 = 45.36
4、全ての偏差積の和を求める
和のため、全てを足します。
52.56 + 5.36 + 104.16 + 137.16 + 133.86 + 74.16 + (-3.24) + 5.06 + 39.96 + 45.36 = 594.4
これで偏差積和が求められました。
正の数のため、この二つは正の相関になると考えられます。
5、データ数を数える
データの数は、10です。
こちらはそのまま数を数えましょう。
6、偏差積和をデータ数で割る
先ほど求めた偏差積和をデータ数で割ましょう。
594.4 ÷ 10 = 59.44
これで共分散が求められました。
正の数のため、この二つは正の相関になると考えられます。
まとめ
今回は、「共分散」について紹介させていただきました。
共分散とは、
偏差積和の平均値
です。
主に、
相関係数を求める
ときに使用します。
偏差積和 → 共分散 → 相関係数
という順番に求めていきます。
また、共分散からも相関の向きを推測することができます。
相関の強さなども見るためにも、できる限り相関係数で向きも見ましょう。
これら値により、
二つのデータの関係性やこれからのデータの推測
ができるようになります。
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
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